旋转的性质和旋转中心的确定方法

旋转是几何变换中的重要组成部分，其性质和旋转中心的确定方法在几何问题求解中起着关键作用。本文将深入探讨旋转的性质，并详细阐述多种确定旋转中心的方法。

一、旋转的定义及基本性质

平面图形的旋转是指将平面图形绕平面内某一点（旋转中心）旋转一定角度（旋转角）的变换。旋转中心是图形旋转过程中唯一不动点，旋转角则决定了图形旋转的幅度。若点P经旋转变换到点P’，则P和P’称为对应点。

旋转具有以下几个重要性质：

1. 对应点到旋转中心的距离相等: 旋转变换保持对应点与旋转中心距离不变，即OP=OP’，其中O为旋转中心，P和P’为对应点。这一性质保证了旋转前后图形的大小形状不变，仅改变其空间位置。

2. 对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角: 连接旋转中心O与对应点P、P’，则∠POP’=θ，其中θ为旋转角。这一性质是确定旋转角的关键，也是理解旋转变换的核心。正负旋转角分别表示顺时针和逆时针旋转。

3. 旋转前后的图形全等: 由于旋转变换仅仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，因此旋转前后的图形始终保持全等。这使得我们可以利用旋转变换解决许多几何问题，例如证明三角形全等、计算线段长度等。

4. 旋转的合成: 连续进行两次旋转变换，其结果等效于一次旋转变换。设第一次旋转中心为O1，旋转角为θ1，第二次旋转中心为O2，旋转角为θ2，那么两次旋转的合成结果为一次绕某个中心旋转θ1+θ2的变换（旋转中心的位置取决于O1,O2,θ1,θ2）。理解这一性质对于分析复杂的旋转问题至关重要。

二、旋转中心的确定方法

确定旋转中心的方法取决于旋转中心的位置：

1. 旋转中心在图形上: 若旋转中心位于图形上，则该点在旋转过程中位置不变。例如，将一个正方形绕其中心旋转任意角度，中心点始终保持不动，因此正方形的中心点就是旋转中心。这种方法简单直观，适用于旋转中心位于图形上的情况。

2. 旋转中心在图形外: 如果旋转中心位于图形外部，则需要借助其他方法确定其位置。最常用的方法是利用对应点连线的垂直平分线。

利用对应点连线的垂直平分线: 连接旋转前后的任意一对对应点P和P’，作线段PP’的垂直平分线。再选择另一对对应点Q和Q’，作线段QQ’的垂直平分线。这两条垂直平分线的交点即为旋转中心O。这是因为旋转中心到对应点的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上。通过两对对应点，即可确定旋转中心的唯一位置。

利用特殊点: 对于一些特殊的几何图形，例如正多边形，可以利用其对称性来确定旋转中心。例如正方形的旋转中心在其对角线的交点处。

利用坐标法: 对于已知坐标的对应点，可以利用坐标系和解析几何方法来确定旋转中心。此方法更适合于复杂的几何问题。

三、旋转性质的应用及例题分析

旋转的性质广泛应用于几何问题中，解决问题的关键在于：

1. 寻找“变”与“不变”: 旋转变换中，“不变”的是图形的形状和大小以及对应点到旋转中心的距离；“变”的是图形的位置和对应点的位置。抓住这些不变的性质，可以有效简化问题。

2. 确定对应关系: 准确地找出旋转前后的对应点是解决问题的基础。可以通过观察图形的特征，例如对应边的长度、对应角的大小等，来确定对应关系。

3. 挖掘线段之间的关系: 旋转变换可以产生新的线段关系，例如可以通过旋转变换构造全等三角形，从而解决线段长度或角度的问题。

例题分析：

题目：两个边长相同的正方形ABCD与CDEF连接在一起（其中两个正方形有公共边CD），如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点有___A．1个B．2个C．3个D．4个

解答：

正如原文所示，共有三个点可以作为旋转中心：

1.点D：将正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°，可以与正方形CDEF重合。

2.点C：将正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°，可以与正方形CDEF重合。

3.CD的中点：将正方形ABCD绕CD的中点旋转180°，可以与正方形CDEF重合。

因此，答案为C。这道题充分体现了旋转中心在图形上和在图形公共边上的情况，以及不同旋转角度的可能性。

综上所述，理解旋转的定义、性质和确定旋转中心的方法，对于解决几何问题至关重要。熟练掌握这些知识，可以更有效地分析和解决各种几何问题，提升几何思维能力。在实际应用中，需要根据具体问题的特点，灵活运用不同的方法来确定旋转中心，并充分利用旋转的性质来简化问题求解过程。